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配分額：2300000円 （ 直接経費：2300000円 ）

以下のような研究を行った。
・基礎理論である関係計算のファジイ版である「ファジイ関係代数の公理的定式化(斉次型)」(昨年の成果)を発展させ、論理学者A.Tarski等が示した関係代数の表現定理をカテゴリーにまで拡張し、デデキント圏、ザデェ-圏の表現定理にまで拡張し、証明した。(河原・古澤・森との協同研究)
・「ファジイグラフ」のファジイ関係計算に基づくファジイグラフ変換理論の基礎理論として、ファジイグラフに関する照合理論を提案し、さらに、プルバックグラフ変換のための基礎となるファジイグラフの圏の種々の性質を考察を証明した。(河原・森との協同研究)
・グラフ変換のみならず数学・理論情報科学の基礎理論となる「関係集合論」を提案し、そのグラフ変換理論への応用を検討した。(河原)
・これで本研究は終了するが、その詳細は研究成果報告書(冊子)に述べている。研究代表者として本研究に対して補助を賜ったことに感謝する。

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配分額：2100000円 （ 直接経費：2100000円 ）

本研究ではアソシエーションスキームに付随した組合せ的構造と、統計的解析、およびそれらの応用を研究した。標数2の有限体上の二次形式のアソシエーションスキームを、交代形式のアソシエーションスキームと定義ベクトル空間との直積集合上に構成する方法を発見した。この方法により、一次元大きい交代形式のアソシエーションスキームも再構成できる他、新しいアソシエーションスキームが発見できる可能性が出てきた。また、研究分担者の坂内英一とともに、群アソシエーションスキームのTerwilliger代数の構造と、指標表から定まる群の不変量の関連を明らかにした。また坂内英一は、ハミングアソシエーションスキームの部分集合であるコードから、ヤコビ多項式をつくり、そこからさらにヤコビ形式が得られることを示した。さらに、研究分担者の柳川堯、笛田薫は、統計的検定問題を研究した。分割表に記述される多変量離散データの解析法を開発し、疎な分割表解析に関して、反応が非線形構造を持つ場合の検定を開発し、その漸近的性質について研究した。また、統計的検定問題において、観測標本の順位を対称群の元として扱うことにより対称群上の距離から導かれる順位検定統計量の性質を調べた。その結果、多くの距離から導かれる検定統計量は漸近正規性を持つことが示された。また、研究分担者の小西貞則は、現象解明のための有効な予測モデルの構築と、モデルの良さを測るための評価基準の構成を目的として研究を行った。さらに、大塚寛は、グラフを集合値関手圏とみなし、この上でグラフ変換のストリクト性の定式化と、それに基づく解析方法を与えた。

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配分額：2000000円 （ 直接経費：2000000円 ）

これまでに得られた楕円型方程式に関する結果を、より実用度の高いものに改良・拡張するための検討を行なった。また、原理的な検証定式化が行なわれている放物型および双曲型方程式に対して、その適用性を高めることを試みた。具体的な検討結果は以下の通り。
(1)最大値ノルムの意味での精度保証が可能な方法を検討し、数値的に構成可能なa priori誤差評価を得るとともに、高次要素を用いて高精度で最大値ノルム型のa posteriori誤差評価を得る方法を見い出した。
(2)パラメータに依存する非線形微分方程式系に対し、turning pointやbifurcation pointの近傍における特異性の影響を克服した検証方式を定式化し、またそれらの点自体を数値的に精度保証する方法を実現した。
(3)方程式の中に未知関数についてのフレッシェ微分が不能な項を含む場合にも、ニュートン的方法による検証な可能なことを、電磁流体の平衡系方程式を例にとって明らかにした。
(4)高次有限要素を用いて近似解のa posteriori誤差評価を行い、その結果に残差反復を適用することにより、検証能力が飛躍的に向上することを見い出した。
(5)非線形楕円型方程式の球対称解の漸近挙動を特徴づける積分方程式について、その解を精度保証することにより、理論的に解明困難な問題に対し数値的解決を与えた。
(6)空間2次元および3次元の非線形放物型問題に対する数値的検証法を定式化し、その検証例を与えた。
(7)Stokes方程式の有限要素解に対するa posteriori誤差評価の方法を見いだし、Navier-Stokes方程式の解の数値的検証定式化への見通しを得た。
(8)検証プログラムの高速化と効率化について検討し、検証手順の簡易化手法を見いだし、これによりにより検証プログラムの実行効率と検証精度の向上が計れた。

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配分額：900000円 （ 直接経費：900000円 ）

離散型モデルにおける多重比較法の数理に関する基礎及び応用研究を行った.
柳川は応用の観点から分割表にまとめられるデータを対象にして、経験ベイズ法によって地域情報をとり込む比率の比較法を開発し、疾病率の比較に適用した.山田は組合せ論の立場から、Hadamard行列の構成に強力な方法であるM-structureの概念を一般四元数型配列に拡張した.佐藤は、無限直積測度の立行移動に関する絶対連続を調べたシェップの結果を確率平行移動を含むように一般化よることに成功した。中屋は、数値計算を精度保証付づ行うアルゴリズムを開発し、従来手法の適用領域の拡張、及び検証効率、精度の改良を行った。
大塚は、ラムダ計算の構文論における重要な補〓である代入補〓を、ラダム計算のひとつの記法であるド・ブライノ記法で試化し、その証明を与えるという算法上の基礎研究で重要な成果を上げた.

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配分額：2000000円 （ 直接経費：2000000円 ）

本年度は特に、楕円型境界値問題と放物型初期境界値問題の厳密解を、計算機によってその存在と精度の保証付きで求める方法(数値的検証法)について検討し、従来手法の改良拡張に関し以下の成果を得た。
1.パラメータに依存しturning pointを持つような微分方程式に対する数値的検証法の定式化
従来の検証法では、turning pointの近傍では線形化作用素の特異性のために検証不能となったが、この点を克服する手法を見いだし、生物数学に現われる非線形常微分方程式の2点境界値問題に適用しその十分な有効性を確認した。
2.非凸領域での楕円型境界値問題の解の検証法
非凸領域ではPoisson方程式の解の滑らかさが落ちるため、その有限要素解の構成的a priori誤差評価が困難であり、したがってこれまでの検証定式化は適用できなかった。今回、計算機を用いてPoisson方程式の有限要素解のa priori誤差評価を与える方法を見いだし、平面上のL-shape domainの場合適用し検証数値例を与えた。
3.空間多次元の放物型方程式の解に対する検証法
空間1次元の場合は既に定式化と基本的検証数値例とが与えられているが、多次元の場合にそのまま適用することはできなかった。今回その点を改良し原理的には空間3次元まで適用可能とし、2次元に対する検証例を与えた。
4.残差反復法による楕円型境界値問題に対する検証能力の向上
従来の検証法では検証の原理的要因から、解の大きさがある程度以上になると、それにともなって誤差が増大し検証実行時のニュートン的反復列が発散して検証不能となる場合があった。この難点を克服するための種々の残差方程式への変換技法について検討し有効な方法を見いだした。なお本項については今後も継続して検討する予定である。

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配分額：1800000円 （ 直接経費：1800000円 ）

共形場理論における相関函数のモノドロミ-表現の構造を研究し,得られた組みひも群,リーマン面の写像類群の表現と量子群,準ホップ代数との関連を明らかにした.また,これを用いて,3次元多様体の位相不変量を構成し,ウィッテンが,チャーン・サイモンズゲージ理論における分配函数として提唱した位相不変量について,数学的に厳密に定式化した.モノドロミ-表現のユニタリ性を,超幾何函数,局所系のコホモロジーの交叉理論によって証明し,応用として,3次元多様体のヘ-ガード種数,結び目のトンネル数など,古典的な不変量の下からの評価を与えた.さらに,KZ方程式のモノドロミ-表現に関する成果をバシリエフ不変量に応用し,ドラムホモトピー理論の手法を展開することにより,純組みひも群の降中心列が,バシリエフ不変量によるフィルトレーションと一致すること,さらに,純組みひもが,バシリエフ不変量によって完全に分類されることを証明することができた.バシリエフ不変量は,結び目全体の空間の0次のコホモロジーの研究に由来しているが,高次のコホモロジーについても,グラフ複体とよばれる概念を用いて,結び目全体のなす無限次元空間上のドラム複体を記述する手法を与えた.これを用いてチャーンサイモンズ摂動理論に示唆された,バシリエフ不変量,結び目の空間のコホモロジー類について,コンフィギュレーション空間上の積分としての表示を与えることができた.ここにあらわれるグラフは,チャーンサイモンズ摂動理論において準古典近似を行う際に登場するファインマン図形であり,無限次元的な手法で得られた位相不変量の具体的な記述を与えている.また,これらのグラフは,リーマン面のモジュライ空間のセル分割にもあらわれるものであり,両者の関係を明らかにすることは,今後の重要なテーマであると考えられる.

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1.層別された高次分割表には、0セルや観察個数が極めて小数のセルが多出するため既存の理論及び方法が適用できない。そのため、基礎理論の数学的研究を行い次の研究成果をえた。
(1)研究分担者川崎英文は無限個の滑らかな関数の上限として定義されるsup型関数の最小化問題を考察して、2次の最適性必要条件が、従来のLagrange関数の2階微分以外にE関数とよび新しい項を含んでいることを発見し、その性質を調べた。
(2)研究分担者大塚寛はtyped2ーcalculasの2のcategorical modelであるpolynomial CCCとCCC上のあるcomonadから引き起こされるkleisli categoryを比較して、両者が同型であること、後者は前者のfunctional completenessで記述できることを示した。
(3)研究分担者佐藤 坦はR^n上の任意の実測度μについてある条件のもとでa.e.に成り立つ実解析学の基本定理が、μがFederer測度の場合でも成り立つことを証明した。この測定は、フラクタル上のハウスドルフ測度を含む極めて一般的な測度である。また、河野俊丈は共形理論に現れるリ-マン面の写像類群の表現を記述し、これらを用いて3次元多様体の位相不変量を、Heegaard分解を経由して構成した。
2.以上、および他の研究分担者の成果を総括して、研究代表者柳川尭は、応用面で疎な分割表の一つの典型である、反応が多重である場合のnoーobservedーadverseーeffectーlevel決定法、およびその計算アルゴリズムを開発した。結果は、国際会議International Biostatistics Conference in the Study of Toxicologyで発表した。

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配分額：6400000円 （ 直接経費：6400000円 ）

計算科学と脳、市場を典型とする複雑システム(complex system)の数理を結びつけることを検討した。パラダイムの設定が具体的問題を規定するので、やや迂遠ではあるが前者に力を注いだ。その結果枠組みとしては公理的集合論に基づく「形式的な数学と科学」を想定するのが妥当であるとの見解にいたった。現在すでに解析学の分野ではそのようなものとして超準解析とくに超準確率論が盛んに研究されている。またMilnerの計算システムの理論(CCS)とBarwiseによる(自然言語の分野での)「状況意味論」という独立に進んできた理論が∈に関し無限下降列を許す集合論で見事に基礎付けられたのを契機として、情報と言語の分野も(数学と同様に)集合論上に築かれ得るという確信が生まれて来ている。
市場の均衡理論が微分学上に築かれ(静力学の類似)、力学系的な神経回路網が盛んに研究されているように力学系は複雑システムの現象面を表す大きな要素である。超準解析であらわれた無限小、超有限という概念は有限と無限、離散と連続の接点にあり、大きな有限系を扱う自然な枠組みを与えてくれる。
以上の概要にもとづき脳の数理等関連の研究者を招き催した研究集会で発表し、「研究成果報告書」にまとめた。

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配分額：2100000円 （ 直接経費：2100000円 ）

古川は,自己の開発したMax型関数の最大化アルゴリズムを使って,微分不可能項をもつ非線形連立方程式を数値的に解く方法を考案し,従来全く解く手段を見出せなかったある一群の非線型方程式に対して,世界で初めて一つの解法とそのアルゴリズムを与えることに成功した。大型計算機による数値実験の結果も,ニュ-トン法が適用できない非線形連立方程式に対して古川の方法が極めて有効であることを示している。今回とり扱った一群の非線形方程式より更に複雑な非線形方程式に対しても,本研究において得られたアルゴリズムを拡張することによって,新たな解法を導出する可能性を見出すことが出来た。これについては,今後の研究に待つことにする。
佐藤は,加法的マルチンゲ-ル(M_n,F_n)でM_n+1〉0の場合に,M_nとその指数マルチンゲ-ルε(M_n)の一様可積分性が一致することを示し,さらにこの結果を連続時間のマルチンゲ-ルに拡張した。
洞は,無限直積型の可換Lie群上の準不変測度の研究として,このような群上の測度を絶対連続に保つ群作用全体のなす集合の構造を調べた。
藤野は,合同反復模型の族を定義し,この族の特性,分類について調べた。この模型は並列処理機構の簡単な場合を含んでいる。
河原は,計算機による大量の数値実験に基づく帰納的推論の結果として藤野が提出した沢山の予想の中で,1次元セルオ-トマトンCAー90(m)に付隨する特性数に関する殆んどすべての予想に対して,肯定的解決を与えた。
大塚は,Typed λーcalculusの2つのcategorical modelの比較を行った。
柳川は,2×K分割表がK枚あるとき,分割表間のオツズ比の均一性検定のための条件付近似統計量がカイ二乗分布に従うための必要十分条件を与えることに成功した。

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配分額：1300000円 （ 直接経費：1300000円 ）

本年度は特に偏微分方程式の解の存在、一意性および存在範囲の特定を計算機によって数値的に検証する方法として、非線形楕円型境界値問題と放物型初期値境界値問題を対象に検討した。これまでの研究成果をもとに、検証可能な方程式の範囲の拡大を図り、得られた検証法を、実際に物理学や生物数学上に登場する具体的方程式に対し適用することにより、その有効性を評価すると共に、手法の改良を行った。研究内容と成果は以下の通りである。
1.非線形楕円型境界値問題の検証を行う場合、従来のL^2理論に基く方法では高々多項式オ-ダ-の非線形性にしか対応できなかったが、非線形項のTaylor展開を考えることによりこれを克服できることがわかった。例えば指数関数的な非線形性を持つ方程式の検討にもL^2理論で対応できることを明らかにし、具体的適用例として方程式:-Δu=λe^uの解の検証を行った。
2.生物数学に現れる反応拡散系の定常問題を記述する非線形楕円型方程式:-Δu=λu(1ーu)(uーa)を対象として解の検証を試み、検証方式の実用性の評価を行った。その過程において従来方式の問題点が明らかにされ、その点を改良することにより効率良い検証アルゴリズムが得られ、有効性が高められた。
3.非線形発展方程式に対する検証法について検討した。先ず準線形放物形方程式に対する初期値境界値問題の解をコンパクト作用素の不動点として定式化し、RoundingとRounding・errorの概念に基づく検証条件を明らかにし、具体的な近似空間を設定して検証手順と検証例とを与えた。
4.非線形常微分方程式の2点境界値問題に対しても、より効率の良い検証法を開発した。

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資金種別：競争的資金

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資金種別：競争的資金

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