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Grant amount：\1600000 （ Direct Cost: \1600000 ）

Between 2 years from Heisei 12 to 13, we have studied the generalized AKNS system and Hamiltonian structures associated with certain Lie algebras. We obtained important results on the construction of evolution equations and Hamiltonian structures in some cases containing sl (n,C) and certain symmetric Lie algebras. On the other hand, there are many obscure points about τ functions and the relation with the geometry of symmetric spaces. We want to continue the research. In particular we can say only a little about the relation with the curvature of symmetric spaces. We want to publish our results after making clear such problems.
As a by-product of the study we published the following result on Hokkaido Mathematical Journal : Let A and B be two points on a surface, and connect A and B by certain curve. Let P be a point and connect A, P and B, P by geodesies. Provided that PAB constitute a triangle, let S be the area of the triangle. We consider S to be a function of P. Then, if the curvature of the surface is constant, S is harmonic. Moreover we can show that the angle APB is also harmonic.

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Authorship：Principal investigator  Grant type：Competitive

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Grant amount：\2100000 （ Direct Cost: \2100000 ）

The objective is to study the optimization problems in Mathematical Economics and Mathematical Finance by the recent theory of stochastic control. The main interest lies in finding the solutions of non-linear differential equations called the Hamilton-Jacobi-Bellman equations. It is proved that these equations admit the classical solutions by using the viscosity solution method. The optimal policies are shown to exist and given from the optimality conditions of the equations. The research results supported by this grant can be stated in the following summaries of three articles below.
1 : We study the ergodic control problem of production planning in stochastic manufacturing systems with constant demand. The optimal control and the minimum value are given by a solution to the corresponding Bellman equation.
2 : We study consumption/investment problems with long-term time-average utilities. The associated Hamilton-Jacobi-Bellman equation can be solved under some regularity conditions of utility-rate function, and the optimal portfolio and consumption-rates are exhibited in explicit forms. An application to the optimization problem with finite horizon is also given.
3 : We study the stochastic optimization problem of renewable resources to maximize the expected discounted utility of exploitation. The optimal policy is shown to exist and given in a feedback form or a stochastic version of Hotelling's rule.

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Authorship：Principal investigator  Grant type：Competitive

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Grant amount：\3800000 （ Direct Cost: \3800000 ）

(1) Level surfaces invariant with time of solutions of diffusion equations
We consider solutions of the initial-Neumann problem for the heat equation on bounded Lipschitz domains in Euclidean space, and with the help of the classification theorem of isoparametric hypersurfaces in Euclidean space of Levi-Civita (1937) and Segre (1938), we classify the solutions whose isothermal surfaces are invariant with time. Furthermore, we can deal with nonlinear diffusion equations such as the porous medium equation, and we get similar classification theorems.
(2) Asymptotic behaviors of the interfaces with sign changes of solutions of the one-dimensional porous medium equation
We consider the Cauchy and the initial-Dirichlet problems for the one-dimensional evolution p-Laplacian equation with p>1 for nonzero, bounded, and nonnegative initial data having compact support. It was shown that after a finite time the set of spatial critical points of the solution u in {u > 0} consists of one point, say x = x(t) for time t. In this research, we show that after a finite time x(t) is CィイD11ィエD1 in t. Furthermore, we can deal with generalized porous medium equations with sign changes, and we get CィイD11ィエD1 regularity of the interfaces with sign changes. Also, in the initial-Dirichlet problem for the one-dimensional evolution p-Laplacian equation, we show that there exists a positive constant β=β(ρ) such that x(t)tィイD1-βィエD1 tends to some positive constant as t → ∞.
(3) Stationary critical points of the heat flow and the symmetries of the domains
We consider the initial-Dirichlet problem for the heat equation on bounded and simply connected domains in the plane. By a new method with the help of the Riemann Mapping theorem in complex analysis, we give a characterization of domains invariant under the rotation of angle 2π/3 by making use of the stationary critical points of the heat flow. (Previously, only the characterizations of balls and centrosymmetric domains were obtained.) Furthermore, we consider stationary critical points of the heat flow in sphere SィイD1NィエD1 and in hyperbolic space HィイD1NィエD1, and prove several results corresponding to those in Euclidean space which have been proved in Magnanini and Sakaguchi (1997, 1999). Precisely. We get the characterizations of geodesic balls and centrosymmetric domains by making use of the stationary critical points of the heat flow.

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Authorship：Principal investigator  Grant type：Competitive

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Grant amount：\1200000 （ Direct Cost: \1200000 ）

1.確率制御問題の研究について
本年度の成果は、制約条件をもつ時間平均コスト確率制御問題に関する解法を見つけたことである。これは研究発表欄であげた論文で発表された。さらに本研究費を使って他大学の研究者との活発な議論を重ねた結果、さらに複雑な生産計画問題に対しても解決できる目途がついた。また、いくつかの解決できた結果については目下投稿中の論文で発表する予定である。もう一つの成果は、本研究費によって国際学会(The 35th IEEE Conference on Decision and Control)での研究発表及び資料収集ができたことである。特に、今年は、この学会のために、多くの外国の研究者が来日して国際交流ができたのは非常に有益であった。不確定性を伴う確率微分方程式に対する自己調整型制御問題について助言を得たり、今後の研究対象となる数理経済と確率制御の関連性などについて活発な議論を行った。共同研究のテーマして時間平均コスト確率制御問題に対する方程式の粘性解の意味での取り扱い方を探る方向を模索できるまでに至っている。これからも他大学の研究者との活発な交流は不可欠である。
2.数理物理に表われる逆問題の追求について
本研究費によって、柳、内藤教官および新任の橋本教官に出張していただき関数方程式に関する各種の研究会で参加発表を行ってもらった。今後、固有値問題と確率制御の間の興味ある関連性について、深く究明していきたい。
3.パラメーター変動によるコンピューターシミュレイションについて
主として山本教官に本研究費を使って出張していただき、他大学の研究者と活発な議論を重ねて充分な成果を得た。数値解析的方向から不確定性を伴うシステムへの反応が期待される。
4.統計からのアプローチについて
本年度は、国際学会や関連するシンポジウムがあって多忙を極めたために、この課題についての十分な成果を得ることができなかった。

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Grant amount：\900000 （ Direct Cost: \900000 ）

本研究期間において、圧縮性粘性流体の1次元アイゼントロピックモデルに対する考察を行い、時間周期的な外力の存在下での時間周期解の存在について結果を得た。
1次元内の有界領域における気体の運動は、温度一定の条件の下で、質量保存則及び運動量保存則の2つの方程式で記述されることが知られている。この方程式系に対して、Dirichret境界条件を与え、境界値問題を考察した。気体に対し外部から加えられる力が時間周期的であるとき、時間周期解が常に存在するか否かを調べることが目的である。気体はアイゼントロピック流である、つまり気体の圧力pと比体積vの間にp=av^<-γ>の関係が成り立つものとする。ここでγは1以上の定数で、断熱定数と呼ばれる。このとき、断熱定数γに依存する定数C(γ)が存在し、外力の大きさがC(γ)でおさえられるならば、外力と同じ周期を持つ時間周期解が少なくとも1つ存在することが明らかとなった。このC(γ)はγが1に近づくとき無限大に発散する。従って任意に与えられた外力に対して、断熱定数が適当に1に近ければ、時間周期解が存在することになる。この意味において今回得られた結果は、理想気体、すなわち断熱定数が1である場合に対して得られていた従来の結果の拡張となっている。
解の一意性に関しても考察を行い、外力がある値より小さければ、解が一意であることが明らかとなった。しかしながら、大きな外力に対して一意性は不明である。数値実験において、2倍、3倍周期解等の存在が確認されており、周期解分岐がおこっているものと予想されるが、数学的な解析は今後の研究課題となっている。

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