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配分額：1600000円 （ 直接経費：1600000円 ）

平成12年度、13年度の2年間にわたり当科学研究費を使って、リー環とそれに付随する一般化されたAKNS方程式系とハミルトン構造の構成について研究を進めた。その結果sl(n, C)などを含む重要なリー環やある種の対称空間に対応したリー環について、それらに関係した発展方程式系及びハミルトン構造の構成について重要な知見を得た。一方で、τ-関数や対称空間の幾何学との関係などについてはまだ分からないことが多く、今後も研究を進めたい。特に対称空間上の曲率との関係は今の所はっきりとしない。そうした問題を解明した上で成果を発表することを考えたい。
なお研究の副産物として得られた次の結果をHokkaido Mathematical Journalに発表した:曲面上で2点A, Bをとり、適当な曲線で結ぶ。さらに1点Pをとり、AとP、BとPを測地線で結ぶ。3角形ABPに意味があるものとして、その面積をSとする。このとき、曲率が定数であれば、Sは点Pの関数として調和である。また点Pにおける角APBも調和であることを示すことが出来る。
曲率が一定である曲面は、局所的には、球面か曲率負の定曲面だから、それぞれの場合に直接示せばよいわけだが、上記の結果はそうした方法ではなく、一般の場合にも面積のラプラシアンをきちんと計算でき、その結果曲率が一定であれば0になるというものである。

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担当区分：研究代表者  資金種別：競争的資金

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配分額：2100000円 （ 直接経費：2100000円 ）

研究の目的は確率制御の最新理論を適用して数理経済や数理ファイナンスの最適化問題を解決することにある。この科研費による成果は論文要旨と口頭発表にまとめられる。
論文(1):不確定を伴う再生可能な資源は非線形確率微分方程式に従うとされる。この資源を消費してdiscount factorをもつ効用関数を最大にする問題を研究した。対応するHamilton-Jacobi-Bellman方程式は粘性解をもつことを示し、さらにそれが古典解になっていることを証明した。これによって最適政策を決定することができることを論じた。
論文(2):R.Mertonによって研究された投資と投資の問題はdiscounted factorをもった効用関数について最適政策を決定することである。本論文では時間平均効用関数に関して同種の問題を研究した。対応するHamilton-Jacobi-Bellman方程式は明確な形の解をもつことを示して、最適のportfolioと消費量を求めることができることを証明した。満期がある場合への応用も論じた。
論文(3):生産計画における在庫量は生産量と需要と不確定性によって定まる。時間平均費用を最小化する生産量を決定する問題を研究した。Vanishing discount methodと呼ばれる方法を用いてHamilton-Jacobi-Bellman方程式の古典解が求まることを示して最適政策を決定した。
口頭発表:2000年2月18日と2000年9月29日にColumbia Universityを訪問し、最新の研究成果を発表した。
題目はVariational inequalities for combined control with stoppingとOn a combined control and zero-sum stopping gameであり、内容は次のとおりである。Controlされた確率微分方程式において停止時間に関する最適性の問題と2人ゼロ和ゲーム問題を論じた。対応する変分不等式を新たに導入し、その解を求めようとするものである。Penalty方程式の解を用いて、その解が一意に存在することを示した。それらは、目下、論文として関連する数学雑誌に投稿中である。粘性解の手法を援用しているために、解の滑らかさを導く問題が今後の重要な課題となる。

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担当区分：研究代表者  資金種別：競争的資金

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配分額：3800000円 （ 直接経費：3800000円 ）

(1)拡散方程式の解の不変な等位面
ユークリッド空間内の有界リプシッツ領域上で熱方程式の初期斉次ノイマン問題を考えて、等温面たちが時刻について不変な解の精密な分類が、等温面たちの不変性をフルに使って、Levi-Civita(1937)とSegre(1938)によるユークリッド空間内のisoparametrlc hypersurfacesの分類定理を利用することにより得られた。またこの方法は今まで扱えなかった非線形の拡散方程式のporous medium方程式の初期境界値問題にも使えて等位面たちが時刻について不変な解の同様な分類定理を与える。
(2)1次元porous medium方程式の解の符号変化を伴うinterfacesの挙動
空間1次元のp-Laplacian(p>1)の発展方程式のコーシー問題および初期斉次デリクレ問題において、非負有界で台がコンパクトな初期値に対して、解の各時刻tごとの空間方向の臨界点の集合は有限時間後一点x(t)からなることが、以前の研究によって示されているが、ここでは、x(t)が有限時間後tについてC^1級になることが得られた。さらに、般化された空間1次元のporous medium方程式の解の符号変化を伴うinterface x=x(t)が高々一時刻を除いて、C^1級であることが示された。また、先の初期斉次デリクレ問題において、ある正定数β=β(p)についての極限値lim_t→∞x(t)t_<-β>の存在を示した。
(3)熱方程式の解の不変な空間臨界点と領域の対称性
空間2次元の有界単連結領域上の熱方程式の初期斉次デリクレ問題を考えて、リーマンの写像定理を用いた複素解析学による新しい方法によって、120度の回転対称性を持つ領域の不変な空間臨界点による特徴付けを与えた。(以前は、球と点対称領域のみ特徴付けがあった。)また、一般次元の球面および双曲空間上の熱方程式に対して、測地球や点対称な領域の不変な空間臨界点による特徴付けを得た。

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担当区分：研究代表者  資金種別：競争的資金

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配分額：1200000円 （ 直接経費：1200000円 ）

1.確率制御問題の研究について
本年度の成果は、制約条件をもつ時間平均コスト確率制御問題に関する解法を見つけたことである。これは研究発表欄であげた論文で発表された。さらに本研究費を使って他大学の研究者との活発な議論を重ねた結果、さらに複雑な生産計画問題に対しても解決できる目途がついた。また、いくつかの解決できた結果については目下投稿中の論文で発表する予定である。もう一つの成果は、本研究費によって国際学会(The 35th IEEE Conference on Decision and Control)での研究発表及び資料収集ができたことである。特に、今年は、この学会のために、多くの外国の研究者が来日して国際交流ができたのは非常に有益であった。不確定性を伴う確率微分方程式に対する自己調整型制御問題について助言を得たり、今後の研究対象となる数理経済と確率制御の関連性などについて活発な議論を行った。共同研究のテーマして時間平均コスト確率制御問題に対する方程式の粘性解の意味での取り扱い方を探る方向を模索できるまでに至っている。これからも他大学の研究者との活発な交流は不可欠である。
2.数理物理に表われる逆問題の追求について
本研究費によって、柳、内藤教官および新任の橋本教官に出張していただき関数方程式に関する各種の研究会で参加発表を行ってもらった。今後、固有値問題と確率制御の間の興味ある関連性について、深く究明していきたい。
3.パラメーター変動によるコンピューターシミュレイションについて
主として山本教官に本研究費を使って出張していただき、他大学の研究者と活発な議論を重ねて充分な成果を得た。数値解析的方向から不確定性を伴うシステムへの反応が期待される。
4.統計からのアプローチについて
本年度は、国際学会や関連するシンポジウムがあって多忙を極めたために、この課題についての十分な成果を得ることができなかった。

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配分額：900000円 （ 直接経費：900000円 ）

本研究期間において、圧縮性粘性流体の1次元アイゼントロピックモデルに対する考察を行い、時間周期的な外力の存在下での時間周期解の存在について結果を得た。
1次元内の有界領域における気体の運動は、温度一定の条件の下で、質量保存則及び運動量保存則の2つの方程式で記述されることが知られている。この方程式系に対して、Dirichret境界条件を与え、境界値問題を考察した。気体に対し外部から加えられる力が時間周期的であるとき、時間周期解が常に存在するか否かを調べることが目的である。気体はアイゼントロピック流である、つまり気体の圧力pと比体積vの間にp=av^<-γ>の関係が成り立つものとする。ここでγは1以上の定数で、断熱定数と呼ばれる。このとき、断熱定数γに依存する定数C(γ)が存在し、外力の大きさがC(γ)でおさえられるならば、外力と同じ周期を持つ時間周期解が少なくとも1つ存在することが明らかとなった。このC(γ)はγが1に近づくとき無限大に発散する。従って任意に与えられた外力に対して、断熱定数が適当に1に近ければ、時間周期解が存在することになる。この意味において今回得られた結果は、理想気体、すなわち断熱定数が1である場合に対して得られていた従来の結果の拡張となっている。
解の一意性に関しても考察を行い、外力がある値より小さければ、解が一意であることが明らかとなった。しかしながら、大きな外力に対して一意性は不明である。数値実験において、2倍、3倍周期解等の存在が確認されており、周期解分岐がおこっているものと予想されるが、数学的な解析は今後の研究課題となっている。

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