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Country： Japan

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Grant amount：\3730000 （ Direct Cost: \3400000 、 Indirect Cost：\330000 ）

Many problems of fundamental importance are left unsolved in the theory of cohomology of block ideals of finite groups. Let G be a finite groups and k an algebraically closed field of prime characteristic dividing the order of G. Let B be a block ideal of kG and let D be a defect group. Let P be a subgroup of D and let H be a subgroup of G containing DC _G (D) and N_G (P). Assume that a block ideal C of kH and the block B are in Brauer correspondence and D is also a defect group of C. It is significantly important to investigate relationships between the block cohomologies H^* (G, B) and H^* (H,C). For example, when H^* (G, B) ⊆ H^* (H,C) does hold, this inclusion map should be understood through transfer maps between Hochshild cohomology rings of the blocks B and C. We showed that the (B, C) -bimodule L which is the Green correspondent of C to G x H has many nice properties which are useful not only for applications for the cohomology theory but also for modular representation theory of finite groups. Under some additional conditions the module L defines the transfer map L:HH^* (B)→ HH^* (C) which induce the inclusion map l:H^* (G,B)→ H^* (H,C) through embeddings of H^* (G, B) into HH^* (B) and of H^* (H,C) into HH^* (c). It is very interesting from a view point of modular representation theory to determine the blocks of kH in which the Green correspondent V of an indecomposable module U lying in the block B lies. We showed that, using the module L above that under some condition the module V lies in the Brauer correspondent C and when H^* (G,B)⊆ H^* (H,C) the block varieties of the modules coincides in the sense that V _(G,B)(U)= l^* V _(H,C)(V).

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Grant amount：\3500000 （ Direct Cost: \3500000 ）

As a continuation of our research on mod p cohomology algebras of finite groups with extraspecial Sylow p-subgroups, which was done under Grant-in-Aid for Scientific Research during 1997〜1998 (project number 096400460), we calculated the mod 7 cohomolgy algebra of Held simple group. In this work we completed the theoreical frame work on the cohomology algebras of finite groups of this kind. We also calculated the mod p cohomology algebra of the special linear group of degree 3 over the prime field of characteristic p.
We improved a theorem of Carlson on system of parameters. Namely if a finite group G has p-rank r, then the mod p cohomology algebra has a system of parameters ζ_1,...,ζ_r with the following properties: (1) for each i = 1,...,r, the element ζ_i is a sum of transfers from the centralizers of elementary abelian p=subgrpups of rank i; (2) for each i = 1,...,r, the restriction of {ζ_1,...,ζ_i} to an elementary abelian p-subgroup of rank i is a system of paramters of the cohomology algebra of this elementary abelian p-subgroup. From this fact we, in particular, showed that if a finite group G has p-rank less than or equal to 3, then the trivival kG-module k has index zero.
Using transfer maps of extension groups introduced by Carlson, Peng, Wheeler, we showed that an element ρ in the mod p cohomology algebra of a finite group G is regular if and only if the transfer map Tr^<L_p> : Ext^*_<kG>(L_ρ,L_ρ) → Ext^*_<kG>, (k,k) defined by the Carlson module L_ρ is the zero map. Relating to this result we proved that if a finitely generated kG-module W is protective over a cyclic shifted subgroup in the center of a Sylow p-subgroup, then the transfer map Tr^W : Ext^*_<kG>(W,W) → Ext^*_<kG>(k,k) defined by the module W is the zero map.

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Grant amount：\3300000 （ Direct Cost: \3300000 ）

Let G be a dihedral group of order 2n and let A,B, C and D be its subsets. Recently, H. Kimura introduced a method to construct a Hadamard matrix H (A, B, C, D) of degree 8n + 4 under certain conditions for these subsets. In this research, we studied some properties of these subsets in terms of the integral group ring ZG, and gave some examples for small odd integers n as follows :
1. We generalized this construction to arbitrary groups G of order 2n.
2. We gave some variants of this construction.
3. We considered several actions on G (and on its subsets) that preserve the conditions for A, B, C and D. The holomorph of G was included.
4. We studied two particular cases :
(1) A, B, C and D are symmetric ;
(2) more strongly, for a dihedral group G, they are y-invariant.
In these cases, the conditions for A, B, C and D simplify to problems similar to that of four square sums in the group ring ZG.
5. By using computer, we constructed Hadamard matrices H (A, B, C, D) from dihedral groups for all odd integers n < 30 except for n = 15.
It seems that Hadamard matrices coming from dihedral groups are not a few. Furthermore it is interesting to note that almost all examples are y-invariant type.

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Grant amount：\1400000 （ Direct Cost: \1400000 ）

この一年間、主に、元の微分作用素はフレッシェ微分可能だが、有限要素法等で離散化する際、微分不可能な項が出てくるような非線形境界値問題に対しての、有限要素解の誤差評価を行った。例えば、流体の方程式であるナビア-ストークス方程式を離散化する際に、流れの上流の情報を下流の情報より重視するといった、いわゆる上流型有限要素法においてこのような状況が出てくる。
得られた結果は以下の通り:真の解がある程度滑らかなら、それに対する上流型有限要素法により定義される解は、真の解に近くに一意に存在し、適当な誤差評価を満たす。
この結果をまとめた次の論文を準備中で、今年度中に投稿する予定である。
N.Mastunaga,T.Tsuchiya
Non-Differentiable Finite Element Approximations for Parametrized Strongly Nonlinear Boundary Value Problems
また、1996年12月に龍谷大学で行われた応用数学合同研究集会で、同じ著者、題目で研究発表を行った。

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Grant amount：\1200000 （ Direct Cost: \1200000 ）

頂点作用素代数はモンスター有限単純群とモジュラー関数との間の神秘的な関係を説明するムーンシャイン予想の解として構成されたムーンシャイン頂点作用素代数が出発点であるが,以後の研究により、物理における弦理論などで注目されている2次元共形場理論の厳密な数学的定義であることが分かっている。この頂点作用素代数は通常の代数とは異なり,無限個の演算を持つものであり,色々な代数を内部に含む複雑な構造を持っている。さらに、無限個の積を与える頂点作用素の成分全体は非常に大きな代数(カイラル代数)を構成している。
本研究は、このカイラル代数の立場からワイル代数の表現を考察した。ワイル代数は代数幾何や数理物理などで重要な働きをする無限次元の代数であるが、これは自然な形でハイゼンベルグ代数の包絡環の中に入っている。また、このハイゼンベルグ代数は一次元ラティス型の頂点作用素代数の構成に使われており、頂点作用素代数のカイラル代数の中に入っている。
一般に大きな代数の中に埋め込むと、表現の研究は難しくなるのが、一般的であるが、頂点作用素代数の場合には、表現の自由度が減り、研究し易くなることがある。実際、宮本によって、一次元ラティスの頂点作用素代数は簡単な表現を持つイジング模型のテンソル積として理解できることが示された。また、それゆえ、ワイル代数の表現の研究にイジング模型(有理型のヴィラソロ代数の表現)を使える事が本研究によって分かり、庭崎によって研究が進められている。
また、この研究の進展には千葉大の北詰氏、大阪大学の永友氏などとの研究連絡が大きな役割を果たした。

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