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国名： 日本国

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配分額：3730000円 （ 直接経費：3400000円 、 間接経費：330000円 ）

有限群のブロック・イデアルのコホモロジー環の理論ではまだまだ未解明の基本的課題が多い.Gを有限群とし,kをGの位数を割る標数をもつ代数的閉体とする.Bを群環kGのブロック・イデアルとし,Dをそのディフェクト群とする.PをDの部分群としGの部分群HをDC_G(D)およびN_G(P)を含むものとする.kHのブロック・イデアルCがブラウアー対応でBに対応し,DはCのディフェクト群でもあると仮定する.このとき,Bのコホモロジー環H^*(G, B)とCのコホモロジー環H^*(H, C)との関係を探ることは基本的に重要な課題である.例えば,H^*(G, B)⊆H^*(H, C)の関係にあるとき,この包含写像をBとCのホッホシルト・コホモロジー環の間のトランスファー写像を通して理解したい.これに対して(B, C)両側加群LをCのG×Hへのグリーン対応と定義すると,Lは極めて有用である.多少の付加的な条件の下ではあるが,Lが引き起こすトランスファー写像t_L: HH^*(B)→HH^*(C)はH^*(G, B)のHH^*(B)への埋め込みとH^*(H, C)のHH^*(C)への埋め込みを通して,包含写像t:H^*(G,B)→H^*(H, C)を引き起こすことを示した.これは,実用的には十分な解決である.また,Bに属する直既約加群Uのグリーン対応VがkHどのブロックに属するかという課題はモデュラー表現論の観点からも重要であって,上記の両側加群Lを用いて,ある条件の下で,ブロック・イデアルCに属することを示すことができたことは有意義である.さらに,H^*(G, B)⊆H^*(H, C)のときブロック・コホモロジー環におけるこれらの加群の多様体について等式V_G,B(U)=i^*V_H,C(V)が成立することを示した.

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配分額：3500000円 （ 直接経費：3500000円 ）

平成9〜10年度基盤研究(C)「有限群のコホモロジー論の研究」(課題番号09640046)で行ったSylow p-部分群がrank 2でexponent pのextraspecial p-群である有限群のmod pコホモロジー環の研究に引き続いて,Heldの単純群のmod 7コホモロジー環を決定した.Heldの単純群におけるは基本可換p-部分群の融合の状態は最も一般的な状況である.なお,この研究においてこの種の有限群のmod p-コホモロジー環についての理論は完成した.さらに,前回補助金研究で扱った3次一般線型群のmod pコホモロジー環の研究に引き続き,標数pの素体上の3次特殊線型群のmod pコホモロジー環を決定した.
次に,パラメーター系に関するCarlsonの定理の精密化を得た.すなわち,有限群Gのp-ランクはrであるとする.Gのmod pコホモロジー環は次の性質をもつパラメーター系{ζ_1,...,ζ_r}をもつ:(1)各i=1,...,rについて,ζ_iはランクiの基本可換p-部分群の中心化群からのtransfer写像の像である;(2)各i=1,...,rについて,{ζ_1,...,ζ_i}のランクiの基本可換p-部分群への制限はその基本可換p-部分群のmod pコホモロジー環のパラメーター系である.この事実から特に,有限群Gのp-ランクが3以下ならば,自明なkG-加群のindex.は0であることが証明された,これは加群のindex関するCarlsonの予想に対する最初の貢献である.
また,Carlson, Peng, Wheelerによって定義されたtransfer写像を用いて,有限群Gのmod pコホモロジー環の元ρが正則であるためには,ρのCarlson加群L_ρによって定義されるtransfer写像Tr^<L_ρ>:Ext^*_<kG>(L_ρ,L_ρ)→Ext^*_<kG>(k,k)が0写像であることが必要十分であることを証明した.これに関連して,有限群G上の有限生成加群WがGのSylowp-部分群の中心のshifted巡回部分群上射影的ならば,transfer写像Tr^W : Ext^*_<kG>(W,W)→Ext^*_<kG>(k,k)は0写像であることがわかった.

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配分額：3300000円 （ 直接経費：3300000円 ）

アダマールの予想とは,「任意の4の倍数mに対して,次数mのアダマール行列が存在する」というものである。現在,まだ存在が知られていないアダマール行列の最小次数は428であり,国内外の研究者が争っている問題である。
今,Gを位数2nの二面体群とし,A,B,C,Dをその部分集合とする。最近,木村浩氏により,ある条件のもとでこれら四つの部分集合から次数8n+4のアダマール行列を構成する方法が示された。次数428はn=53に対応する。
本研究では,これら四つの部分集合の群環ZGにおける性質を調べ,小さな奇数nについての実例をコンピュータを用いて構成した。その際,以下のような方法をとった。.
1.この構成法を位数2nの一般の群の場合に拡張した。
2.同値な構成法を幾つか与えた。
3.A,B,C,Dの条件を保つようなG(及びその部分集合)上の作用を研究した。Gのホロモルフもその一つである。
4.次の特別な場合に注目した。
(1)A,B,C,Dが対称な場合。
(2)Gが二面体群のとき,更に強く"y-不変な場合。
これらの場合,A,B,C,Dに関する条件は群環ZGにおける四平方和の問題となった。
5.コンピュータを用いて,15を除く30以下のすべての奇数nについて,二面体群からアダマール行列を構成した。
これらのことは,本研究における方法で多くのアダマール行列が構成できる可能性があることを示している。また,実例の殆どがy-不変なものから発見できたことも興味ある事実である。

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配分額：1400000円 （ 直接経費：1400000円 ）

この一年間、主に、元の微分作用素はフレッシェ微分可能だが、有限要素法等で離散化する際、微分不可能な項が出てくるような非線形境界値問題に対しての、有限要素解の誤差評価を行った。例えば、流体の方程式であるナビア-ストークス方程式を離散化する際に、流れの上流の情報を下流の情報より重視するといった、いわゆる上流型有限要素法においてこのような状況が出てくる。
得られた結果は以下の通り:真の解がある程度滑らかなら、それに対する上流型有限要素法により定義される解は、真の解に近くに一意に存在し、適当な誤差評価を満たす。
この結果をまとめた次の論文を準備中で、今年度中に投稿する予定である。
N.Mastunaga,T.Tsuchiya
Non-Differentiable Finite Element Approximations for Parametrized Strongly Nonlinear Boundary Value Problems
また、1996年12月に龍谷大学で行われた応用数学合同研究集会で、同じ著者、題目で研究発表を行った。

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配分額：1200000円 （ 直接経費：1200000円 ）

頂点作用素代数はモンスター有限単純群とモジュラー関数との間の神秘的な関係を説明するムーンシャイン予想の解として構成されたムーンシャイン頂点作用素代数が出発点であるが,以後の研究により、物理における弦理論などで注目されている2次元共形場理論の厳密な数学的定義であることが分かっている。この頂点作用素代数は通常の代数とは異なり,無限個の演算を持つものであり,色々な代数を内部に含む複雑な構造を持っている。さらに、無限個の積を与える頂点作用素の成分全体は非常に大きな代数(カイラル代数)を構成している。
本研究は、このカイラル代数の立場からワイル代数の表現を考察した。ワイル代数は代数幾何や数理物理などで重要な働きをする無限次元の代数であるが、これは自然な形でハイゼンベルグ代数の包絡環の中に入っている。また、このハイゼンベルグ代数は一次元ラティス型の頂点作用素代数の構成に使われており、頂点作用素代数のカイラル代数の中に入っている。
一般に大きな代数の中に埋め込むと、表現の研究は難しくなるのが、一般的であるが、頂点作用素代数の場合には、表現の自由度が減り、研究し易くなることがある。実際、宮本によって、一次元ラティスの頂点作用素代数は簡単な表現を持つイジング模型のテンソル積として理解できることが示された。また、それゆえ、ワイル代数の表現の研究にイジング模型(有理型のヴィラソロ代数の表現)を使える事が本研究によって分かり、庭崎によって研究が進められている。
また、この研究の進展には千葉大の北詰氏、大阪大学の永友氏などとの研究連絡が大きな役割を果たした。

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